Question

已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）求MC的长；
（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据AB=2，BD=1，∠B=90°，根据勾股定理得到AD的长，根据∠BAD=∠ACB得到sin∠ACB=sin∠BAD，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义就可以求出sin∠ACB的值．
（2）设MC=x，则DM=x，AM=AC-MC=2-x，在Rt△ADM中，由勾股定理就可以求出CM的长．
（3）根据四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，就可以求出t的值．
【解析】
（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理得到AD=，
sin∠ACB=sin∠BAD==．

（2）∵∠ADP=90°，
∴∠4+∠3=90°
又∵直角△ABD中，∠1+∠4=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴MD=MC，
设MC=x，则DM=x，AM=AC-MC=2-x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得x=，
∴CM=．
（3）连接AP、AQ、DQ，
∵直角△CDP中，DM=CM=，
则DP=2DM=，
∴CP===，
∵四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，
∴S△APQ=S△ABD+S△CDQ，
即（-t）×4=×2×1+×3t
解得：t=，
∴当点Q从点c向点P运动秒时，存在四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积．