Question

如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB=2．
（1）求∠C的度数；
（2）求DE的长；
（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．

Answer

（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，连OM，OB，可求出∠BOM的度数，∠C=∠BOM．
（2）根据圆内接四边形一外角等于它的内对角，可证明△CDE∽△CBA，两三角形相似对应线段成比例，同时运用（1）中∠C=60°可得的值，能计算出DE的长．
（3）根据直径所对的圆周角是直角，连接AE，在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系．
【解析】
（1）如图：连接OB、OM．
则在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．
∵OM=，∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
连接OA．则∠AOB=120°．
∴∠C=∠AOB=60°．

（2）∵四边形ABED内接于⊙M，
∴∠CBA+∠ADE=180°，
∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠CDE=∠CBA，
在△CDE和△CBA中，
∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，∴．
连接BD，则∠BDC=∠ADB=90°．
在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．
∴．即．
∴DE==×2=．

（3）连接AE．
∵AB是⊙M的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°．
由，可得AD=x•DC，AC=AD+DC=（x+1）•DC．
在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=，sin∠ACE=，
∴CE=AC•cos∠ACE=（x+1）•DC•cos60°=；
AE=AC•sin∠ACE=（x+1）•DC•sin60°=．
又由（2），知BC=2DC．
∴BE=BC-CE=．
在Rt△ABE中，tan∠ABC=，
∴（0＜x＜3）．