Question

如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当0＜t＜时，证明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、D、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．

Answer

（1）当0＜t＜时，点C不过OA中点，想证明垂直应先作出一条和CD有关的垂线，利用相似求解．
（2）应分当0＜t＜时，和≤t＜5时两种情况探讨，应用t表示利用特殊的三角函数表示出OC边上的高．进而表示出面积即可．
（3）以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，那么应根据（1）（2）中的两种类型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE两种情况进行探讨．
【解析】
（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，
=cos∠BOA=cos60°=，
而，
∴．
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA．

（2）当0＜t＜时，
在Rt△OCD中，
CD=OD×sin60°=2t×=．
∴S=×OC×CD=×t×=；
当≤t＜5时（如图2）
过点D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×=（5-t）．
S=×OC×HD=×t×（5-t）=t-t2．

（3）当DE∥OC时，△DBE是等边三角形．（如图3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=AC=．
∴BE+AE=（5-2t）+=5，
∴t=1．
因此AE==2．
过点E作EM⊥OA于M．
则EM=AE×sin60°=2×=，
AM=AE×cos60°=2×=1，OM=OA-AM=4．
∴点E的坐标为（4，）．
当CD∥OE时（如图4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等边三角形，
∴DE=BD-AB=．
∴2t-5=．
∴t=．
因此AE==．
∴E的纵坐标为×=，
横坐标为5-×=，
∴点E的坐标为（，）．
综上所述，点E的坐标为（4，）或（，）．