Question

如图，某剧组在东海拍摄广泛风光片，拍摄基地位于A处，在其正南方向15海里处一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且距小岛A10海里．
（1）求∠A的度数（精确到1°）和点D到BC的距离；
（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A⇒B⇒C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B、C间的F处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

Answer

（1）根据锐角三角函数的定义求出∠A的度数，过点D作DE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出AC的长，再用Rt△ABC∽Rt△DEC可求出D到BC的距离；
（2）设相遇时乙船航行了x海里，则DF=x，AB+BF=2x，利用勾股定理可求出x的值．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，
∵tanA==（1分）
∴∠A≈53°（2分）
过点D作DE⊥BC于点E
∵AC===25
而Rt△ABC∽Rt△DEC
∴=
∴DE==9
∴D到BC的距离为9海里；

（2）设相遇时乙船航行了x海里，则DF=x，AB+BF=2x（2分）
∵CD=15，DE=9
∴CE=12
∴EF=15+20-2x-12=23-2x（1分）
在Rt△DEF中，（23-2x）2+92=x2（1分）
解得：x1≈21.0（不合题意，舍去），x2≈9.7（2分）
答：相遇时乙船航行了9.7海里．