Question

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．
（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）
（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）

Answer

过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
【解析】
（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=AD=×8=4，
∴DF=，
在Rt△ABF中BF==3，
∴BD=DF-BF=4-3，
sin∠ABF=，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=，
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=，
∴DE=BD•sin∠DBE=×（4-3）=≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；

（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=，
∴DC=≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．