若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（...

若一个矩形的短边与长边的比值为 manfen5.com 满分网

（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．

（1）只需在矩形的长上截取AE=AD，DF=AD，连接EF即可；（2）可以结合（1）中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析；（3）只要在黄金矩形中截取以矩形的短边为边长的正方形后，剩下的仍然是黄金矩形．【解析】（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形． ∵四边形AEFD是正方形， ∴∠AEF=90° ∴∠BEF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90° ∴∠BEF=∠B=∠C=90°， ∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设 ∴ ∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设， ∴ ∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．

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考点分析：

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如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE= manfen5.com 满分网

AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比 manfen5.com 满分网

．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

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宽与长之比为

：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．

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宽与长的比是

的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．