Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A（2，2），O（0，0），B（8，0），C（6，2）．
（1）求等腰梯形AOBC的面积；
（2）试说明点A在以OB的中点D为圆心，OB为直径的圆上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer

（1）根据四边形AOBC是等腰梯形，可得AC=4，OB=8，高=2．由此可根据梯形的面积公式求出其面积．
（2）可根据O，A，B的坐标，分别求出OA2，OB2，AB2，只要符合勾股定理，就能得出△OAB是直角三角形，且OB为斜边，也就得出所求的结论了．
（3）当△MOB与△AOB相似，那么△MOB也是个直角三角形．
第一种情况：OB是△MOB的斜边，那么M与C点重合，此时：M（6，2）；
第二种情况：OB是△MOB的直角边，且与OA相对应，那么可根据相似三角形求出BM的长，也就是M点的纵坐标，而M的横坐标就是B点的横坐标．
第三种情况：OB是△MOB的直角边，且与AB相对应，那么也是根据相似三角形求出BM的长，即M的纵坐标，然后B点的横坐标作为M的横坐标，就求出了M的坐标．
【解析】
（1）∵A（2，2），B（8，0），C（6，2），梯形AOBC是等腰梯形，
∴S梯形=（上底+下底）×高=×（4+8）×2=12．

（2）连接AB，那么AB2=62+（2）2=48，
根据A，B的坐标可知：OA2=22+（2）2=16，
OB2=82=64，因此三角形OAB是直角三角形，且OB为斜边．
∴OB=2AD，因此点A在圆D上．

（3）点M1位于点C上时，△OM1B与△OAB相似此时点M1的坐标为M1（6，2）．
过B点作OB的垂线交OA的延长线于M2．
△OM2B与△OAB相似，此时点M2的坐标为M2（8，8）．
过B点作OB的垂线交OC的延长线于M3．
△OM3B与△OAB相似此时点M3的坐标为M3（8，）．