Question

一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）？
（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）的点D的个数？

Answer

（1）此题应分作三种情况考虑：
①点D在线段AB上，若△ACD∽△ABC，已知的等量条件是公共角∠BAC，那么必须满足∠ACD=∠ABC，由于∠ACB＞∠ABC，因此在线段AB上，有一个符合条件的D点；
②点D在线段AB的延长线上，此时已知的等量条件仍为公共角∠BAC，由于∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，因此这两个三角形不可能相似，故在这种情况下，不存在符合条件的D点；
③点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，那么∠BAC＜90°＜∠DAC，根据三角形的外角性质知：∠CAD＞∠BCA＞∠ABC，因此这两个三角形也不可能相似，故此种情况下也不存在符合条件的D点．
（2）可将∠BAC分作三种情况：
①∠BAC是锐角，②∠BAC是直角，③∠BAC是钝角；每种情况都可按照（1）题的分类讨论法进行求解．
【解析】
（1）①如图1，若点D在线段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC，
使得△ACD∽△ABC；
②如图2，若点D在线段AB的延长线上，则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在；（1分）
③如图3，若点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC，因此，这样的点D不存在．
综上所述，这样的点D有一个．
注：③中用“∠CAD是钝角，△ABC中只可能∠ACB是钝角，则∠CAD＞∠ACB”说明不存在点D亦可．

（2）若∠BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个（如图4）；
若∠BAC为直角，这样的点D有两个（如图5）；
若∠BAC为钝角，这样的点D有1个（如图6）．
注：（2）的第一个解答不写不扣分，第二个解答回答“这样的点D有一个”给（1分）．