Question

如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直线OD所对应的函数关系式；
（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

Answer

（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4；
因为=，所以=，OM=．
（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易证==，故DB=1，D（1，2）．故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．
（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON==，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直线OD所对应的函数关系式是y=2x，
设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，故=，故n=，由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤）；
当＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，BE=，
可分别求出三角形的值．
【解析】
（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，
∴OB=4，
∵=，
∴=，
∴OM=．

（2）由（1）得：OM=，
∴BM=，
∵DB∥OA，易证==，
∴DB=1，D（1，2），
∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．

（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，
分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=t，PN=t，
∵直线OD所对应的函数关系式是y=2，
设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，
∴=，
∴=，
整理得：=，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=．
由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，
∴S=（0＜t≤），
当＜t＜4时，点E在BD边上，
此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
∵DB∥OA，
易证：△EPB∽△APO，
∴=，
∴=，
BE=，
S△ABE=BE•AB=××2=×2==，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
综上所述：S=．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=t，PN=t，
即：P（t，t），又（2，0），
设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，
则，
解得：k=，b=，
∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=x+．
依题意：当0＜t≤时，在OD边上，
∴E（n，2n），在直线AP上，
∴-+=2n，
整理得：-=2n，
∴n=，
∴S=（0），
当＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2），因为E在直线AP上，
∴-+=2，
整理得：+=2∴8n-nt=2t，
∴n=，
BE=2-n=2-=，
∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
综上所述：S=．