Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

Answer

（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．
【解析】
（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S△ECF：S△ACB=1：2    
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB 
==
∵AC=4，
∴CE=；

（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴=
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
得x+EF+x=（4-x）+5+（3-x）+EF
解得
∴CE的长为；

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=
即=
解得x=，即EF=
当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF=；

②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=，即=
解得x=，即EF=
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=或EF=．