Question

已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+m²=0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=，DN=，求DE的长；
（3）若在（1）的条件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的两个实数根，求BC的长．

Answer

（1）根据根的判别式△=0，判断出AM=AN，
（2）判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，利用相似三角形的性质解答，
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
（1）证明：△=（-2m）2-4（n2-mn+m2）=-（m-2n）2≥0，
∴（m-2n）2≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0有两个相等实根，
∴AM=AN．

（2）【解析】
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴=，
∴AD2=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴=，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD2=ED•DN，
∵AN=，DN=，
∴AD=DN+AN=3，
∴32=DE，
∴DE=8．

（3）【解析】
由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得=，
∴===，
∴=，
∴==，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得==，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，，
解得：a=±，
∵a＞0，a=，
∴BF=，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴==
设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=．
在Rt△ACM中，有MC=
由△ACM∽△FCB得，∴，
∴BC=5．