Question

取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．
试问：
（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；
（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；
（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer

一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．
【解析】
（1）如图②，由题意∠CAC'=α，
要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°．
∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°．
即α=15°时，能使得AB∥DC．（4分）

（2）易得α=45°时，可得图③，
此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，
则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．（6分）
下求△BFC与△ADC的相似比：
在图③中，设AB=a，则易得AC=a．
则BC=（-1）a，BC：AC=（-1）a：a=1：（2+）
或（2-）：2．（8分）
注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（-+1）：或（+-2）：2．

（3）解法一：
当0°＜α≤45°时，总有△EFC'存在．
∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC'，∠CAC'=α，∠FEC'=∠C+α，
∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°
∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°（11分）
又∵∠C'=45°，∠C=30°
∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°（13分）
解法二：
在图②中，BD分别交AC，AC'于点M，N，
由于在△AMN中，∠CAC'=α，∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°，
∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°
∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°
∴∠BDC+α+∠DBC'=105°（11分）
在图③中，α=∠CAC'=45°
易得∠DBC'+∠BDC=60°
也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°
综上，当0°＜a≤45°时，总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°．（13分）