Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠ADC与∠BCD的平分线的交点E落在AB上，下列结论：①AD+BC=DC；②DE²=DA•DC；③AB²=2AD•BC；④若设AD=a，AB=b，BC=c，则关于x的方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，其中正确的结论有（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer

由已知易证△ADE∽△EDC∽△BEC，根据相似三角形的性质，易证②④正确，再根据直角三角形的性质，证得①正确．
【解析】
①取DC的中点F，连接FE，
∵直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180°，
又∵DE、EC分别平分∠ADC与∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠DEC=90°，
∵点F是DC的中点，
∴EF=DF，CF=EF，DC=2FE，
∴∠FEC=∠FCE=∠ECB，
∴EF∥BC，
∴点E是AB的中点，
∴EF是梯形的中位线，
∴AD+BC=2FE=DC．故①正确．
②在直角梯形ABCD中，
∠A=∠DEC=90°，∠AED=∠ECD，
∴△ADE∽△EDC，
∴，
即DE2=DA•DC．故②正确．
③在直角梯形ABCD中，
∠A=∠B=90°，∠AED=∠ECB，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
由①知，AE=BE，
AE2=AD•BC，
即AB2=4AD•BC．故③错误．
④若设AD=a，AB=b，BC=c，
由③知，AB2=4AD•BC，
即b2=4ac，所以b2-4ac=0，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．
故答案选C．