Question

已知y关于x的函数：y=（k-2）x²-2（k-1）x+k+1中满足k≤3．
（1）求证：此函数图象与x轴总有交点；
（2）当关于z的方程有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．

Answer

（1）本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点；
当k≠2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点．
（2）这个方程有增根，那么增根必为z=3，让方程去分母后，将z=3代入化简而得的整式方程中求出k的值，就可得出函数的关系式，有了函数关系式就能求出其与x轴的交点了．
【解析】
（1）当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有交点．
当k≠2时，△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）=-4k+12；
当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点．
因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1的图象与x轴总有交点．

（2）关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6，k=4-z．
由于原分式方程有增根，其根必为z=3．这时k=1
这时函数为y=-x2+2．它与x轴的交点是（-，0）和（，0）．