Question

武夷山市某茶厂生产某品牌茶叶，它的成本价是每千克180元，售价是每千克230元，年销售量为10 000千克．随着产量增加，为了扩大销售量，增加效益，公司决定拿出一定量的资金做广告．根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．
（1）根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
（2）求年利润S（万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式；（年利润S=年销售总额-成本费-广告费）
（3）问广告费x（万元）在什么范围内，公司获得的年利润S（万元）随广告费的增大而增多？

Answer

（1）图象过点（0，1）、（1，2.7）、（2，4.2），易求函数关系式；
（2）根据年利润的计算方法分别表示各部分得关系式，销售总额为10000y×230=230y（万元），成本费为180y（万元），广告费为x（万元），所以可得关系式；
（3）根据函数性质答题．因为关系式是二次函数，根据开口方向及对称性，结合图象回答问题．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为图象过点（0，1）、（1，2.7）、（2，4.2），
所以有c=1，，
解得a=-0.1，b=1.8．
∴y=-0.1x2+1.8x+1（x≥0）

（2）s=230y-180y-x=50y-x
=50（-0.1x2+1.8x+1）-x
=-5x2+89x+50（x≥0）

（3）根据s=-5x2+89x+50（x≥0）可得：
其对称轴为x=8.9，
因为-5＜0，
所以根据函数性质，0＜x＜8.9时，公司获得的年利润s随广告费的增大而增多．