Question

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．
（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax²+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

Answer

（1）根据折叠的性质知：∠CBD、∠DBE、∠EBA都相等，因此∠ABE=∠CBD=30°；
在Rt△ABE中，已知了∠ABE=30°，而AB=OC=6，由此可求出BE即BC的长，即可得到B点的坐标；在Rt△BCD中，已知∠CBD的度数及BC的长，通过解直角三角形可求出CD的长，也就得到了D点的坐标，进而可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（2）由于∠AEB=∠BEF=60°，易求得∠FEG=60°；在Rt△BEF中，BE的长在（1）中已求得，∠EBF=30°，即可求出EF的长；进而可在Rt△FEG中通过解直角三角形求出FG、GE的值，即可得到H点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据直线BD和抛物线的解析式分别表示出M、P的纵坐标，进而可得到MN、PM的表达式，也就能得到关于h、x的函数关系式，可根据所得函数的性质来判断出PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范围．
【解析】
（1）∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中，AB=6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B（，6），D（0，2）
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b；
，
∴；
所以BD所在直线的函数解析式是；

（2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°；
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H（，）（4分）
∵B（，6）、D（0，2）、H（，）在抛物线y=ax2+bx+c图象上

∴
∴抛物线的解析式是；

（3）∵MP=
MN=6-
h=MP-MN=
由
得
该函数简图如图所示：
当0＜x＜时，h＜0，即PM＜MN
当x=时，h=0，即PM=MN
当＜x＜时，h＞0，即PM＞MN．