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如图,直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双...

如图,直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=manfen5.com 满分网在第一象限相交于点C;以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形,与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等;点C,P在以B为顶点的抛物线y=mx2+nx+k上;直线y=hx+d、双曲线y=manfen5.com 满分网和抛物线y=ax2+bx+c同时经过两个不同的点C,D.
(1)确定t的值;
(2)确定m,n,k的值;
(3)若无论a,b,c取何值,抛物线y=ax2+bx+c都不经过点P,请确定P的坐标.

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(1)可设C点的坐标为(x1,x2),那么矩形的面积应该是x1y1=t;可用C点坐标表示出以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形的面积,联立两式即可求出C点坐标及t的值; (2)将顶点B以及点C的坐标代入抛物线y=mx2+nx+k中,即可求出待定系数的值; (3)在(1)(2)中已经求得了双曲线及直线的解析式,联立两式即可求出点C、D的坐标,将点D的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中,可求出a、c以及a、b的关系式,可用a替换掉b、c,然后根据抛物线y=mx2+nx+k的解析式来设P点的坐标,若P点不在抛物线y=ax2+bx+c上,那么将P点坐标代入上面的解析式后左右两边不相等,可据此来求P点的坐标. 【解析】 (1)直线过点A,B,则0=-h+d和1=d,即y=x+1. (1分) 双曲线y=经过点C(x1,y1),x1y1=t. 以AC为斜边,∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1); 以CO为对角线的矩形面积为x1y1. ×y1×(1+x1)=x1y1, 因为x1,y1都不等于0, 故得x1=1, 所以y1=2. 故有,, 故t=2×1=2,即t=2. (2分) (2)∵B是抛物线y=mx2+nx+k的顶点, ∴有-,, 得到n=0,k=1. (3分) ∵C是抛物线y=mx2+nx+k上的点, ∴有2=m(1)2+1,得m=1. (4分) 故m=1,n=0,k=1. (3)设点P的横坐标为p,则纵坐标为p2+1. ∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C,D, 其中求得D点坐标为(-2,-1). (5分) 解法一: 故2=a+b+c, -1=4a-2b+c. 解之得,b=a+1,c=1-2a. (6分) (说明:如用b表示a,c,或用c表示a,b,均可,后续参照得分) ∴y=ax2+(a+1)x+(1-2a) 于是:p2+1≠ap2+(a+1)p+(1-2a) (7分) 变形,得p2-p≠(p2+p-2)a, ∴无论a取什么值都有p2-p≠(p2+p-2)a. (8分) (或者,令p2-p=(p2+p-2)a (7分) ∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点, ∴此方程无解,或有解但不合题意(8分) 故∵a≠0, ∴① 解之p=0,p=1,并且p≠1,p≠-2.得p=0 (9分) ∴符合题意的P点为(0,1)(10分) ②, 解之p=1,p=-2,并且p≠0,p≠1. 得p=-2. (11分) 符合题意的P点为(-2,5). (12分) ∴符合题意的P点有两个(0,1)和(-2,5). 解法二:则有(a-1)p2+(a+1)p-2a=0 (7分) 即〔(a-1)p+2a〕(p-1)=0 有p-1=0时,得p=1, 即C点(1,2)在y=ax2+bx+c上. (8分) 或(a-1)p+2a=0,即(p+2)a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾(9分) 得点P(0,1)(10分) 或者p=-2时,无解(11分) 得点P(-2,5)(12分) 故对任意a,b,c,抛物线y=ax2+bx+c都不经过(0,1)和(-2,5) 解法三:如图,抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C,D外的其他点; (只经过直线CD上的C,D点). (6分) 由(7分) 解得交点为C(1,2),B(0,1); 故符合题意的点P为(0,1). (8分) 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=-2上除D外的其他点. (9分) 由(10分) 解得交点P为(-2,5).(11分) 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点, 而解得交点为C(1,2). (12分) 故符合条件的点P为(0,1)或(-2,5). (说明:1.仅由图形看出一个点的坐标给(1分),二个看出来给(2分).2,解题过程叙述基本清楚即可.)
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考点分析:
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如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;
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(1)求该二次函数的解析式,并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象;
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如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,manfen5.com 满分网),△AOB的面积是manfen5.com 满分网
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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