Question

如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、F出发ts时，△EBF的面积为ycm²．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）梯形上底的长AD=______cm，梯形ABCD的面积______cm²；
（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；
（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2？

Answer

（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；
根据上面的分析，可知在MN之间时，E在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD=2cm；
根据OM段的函数图象知：当t=5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB=BC=5；根据MN段函数图象知：此时△BEF的面积为10，可据此求出梯形的高为4，进而可根据梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积；
（2）利用待定系数法分别求两个解析式；
（3）当E在AD上运动时，△EBF的面积为10，显然不符合题意，所以当△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2时，E点一定在线段BA或线段CD上，可将△EBF的面积（即梯形面积的一半）代入（2）题求得的两个函数关系式中，即可得到所求的t值．
【解析】
（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；
当E、A重合，F、C重合时，t=5s，
∴AB=BC=5cm；
MN段是线段，且平行于t轴，此时F运动到终点C，E点在线段AD上运动；
∴AD=1×2=2cm，CD=2×S△BEF÷BC=2×10÷5=4cm；
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=×（2+5）×4=14cm2；
故填：2，14；

（2）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at2，把M点的坐标（5，10）代入得a=，
∴y=t2，0≤t≤5；
当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=-，b=，
所以y=-t+，（7＜t≤11）

（3）当0＜t≤5时，t2=×14，
∴t=；
当7＜t≤11时，-t+=×14，
∴t=8.2；
∴t=s或8.2s时，△BEF与梯形ABCD的面积比为1：2．