Question

如图，抛物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与（2）中的函数图象交于点F、H．问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

Answer

（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出y1的函数解析式；
（2）过M作MN⊥x轴于N，根据抛物线y1的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易证得△MPQ∽△MBP，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、y2的关系式，联立两式即可求出y2、x的函数关系式；
（3）根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于EF∥GH，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有EF=GH，可据此求出m、n的数量关系．
【解析】
（1）∵抛物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点；
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y1=-x2+x+；

（2）作MN⊥AB，垂足为N．
由y1=-x2+x+，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°；
根据勾股定理有：BM2-BN2=PM2-PN2，
∴（2）2-22=PM2-（1-x）2…①；
又∠MPQ=45°=∠MBP，∠PMQ=∠BMP（公共角），
∴△MPQ∽△MBP，
∴PM2=MQ•MB=y2•2=2y2…②；
由①②得：y2=x2-x+；
∵0≤x＜3，
∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+（0≤x＜3）；

（3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：m+n=2（0≤m≤2且m≠1）；
∵点E、G是抛物线y1=-x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点，
∴点E、G坐标为E（m，-m2+m+），G（n，-n2+n+）；
同理，点F、H坐标为F（m，m2-m+），H（n，n2-n+）．
∴EF=m2-m+-（-m2+m+）=m2-2m+1，GH=n2-n+-（-n2+n+）=n2-2n+1；
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，
∴m2-2m+1=n2-2n+1，
∴（m+n-2）（m-n）=0；
∵由题意知m≠n，
∴m+n=2（m≠1）；
因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．