Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．
（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．
（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC2、BM2、CM2的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．
【解析】
（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x2-2x-3）=m（x-1）2-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx2-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x2-2x-3=0；
解得x1=-1，x2=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）

（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴．（5分）
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC
=
=
=3m．（7分）
∴S△BCM：S△ABC=1：2，（8分）
故答案为：；

（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，
∴MN=DM-DN=m．
∴CM2=CN2+MN2=1+m2；
在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，
在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2，
即1+m2+4+16m2=9+9m2，
解得，
∵m＞0，∴．
∴存在抛物线y=x2-x-使得△BCM是Rt△；（10分）
②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC2+CM2=BM2，
即9+9m2+1+m2=4+16m2，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1；
∴存在抛物线y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△；
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC2+BM2=CM2，
即9+9m2+4+16m2=1+m2，整理得，此方程无解；
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在；
综上所述，存在抛物线y=x2-x-和y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△．（12分）