Question

如图，将腰长为的等腰Rt△ABC（∠C是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限，其中点A在y轴上，点B在抛物线y=ax²+ax-2上，点C的坐标为（-1，0）．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）抛物线的关系式为______，其顶点坐标为______；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer

（1）在Rt△AOC中，已知了斜边CA和直角边OC的长，利用勾股定理即可求得OA的值，从而得到点A的坐标；过B作BE⊥x轴于E，由于△ABC是等腰直角三角形，易证得△BCE≌△CAO，可得BC=OA、BE=OC，由此可求得点B的坐标．
（2）将点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（3）解决此题首先要求出B′、C′的坐标，可仿照（1）的方法求解；过B作BN⊥y轴于N，过B′作B′M⊥y轴于M，可通过证△ABN≌△AB′M，来求得AM、B′M的长，进而确定出点B′的坐标；C′坐标的求法相同，过C′作C′P⊥y轴于P，通过证△AOC≌△APC′，来求得点C′的坐标，进而可将B′、C′的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可．
【解析】
（1）过B作BE⊥x轴于E；
在Rt△AOC中，AC=，OC=1，则OA=2；
故A（0，2）；
由于△ACB是等腰直角三角形，则AC=BC，∠ACB=90°；
∴∠BCE=∠CAO=90°-∠ACO，
∴△BCE≌△CAO，
则CE=OA=2，BE=CO=1，
故B（-3，1）；
∴A（0，2），B（-3，1）．（2分）

（2）由于抛物线经过点B（-3，1），则有：
9a-3a-2=1，a=；
∴解析式为y=；（3分）
由于y==，
故抛物线的顶点为（-）．（4分）

（3）如图，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C′作CP⊥y轴于点P；
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）；
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，
可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=，
可知点B′、C′在抛物线上．（7分）
（事实上，点P与点N重合）