Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求出OC的长，由此得到C点的坐标；
（2）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定其解析式；
（3）根据抛物线的解析式，易求得D（1，3）；联立直线AE的解析式即可求得E点的坐标，此时可发现∠OBD和∠EAB同为45°，对应相等，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，可考虑两种情况：
①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出BP的长，从而确定P点的坐标．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC2=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
2=a（0+1）（0-4），a=-，
∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；

（3）存在符合条件的P点，且P（，0）或（-，0）．
根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：
，
解得，，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO==1，即∠DBO=45°，tan∠EAB==1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3，EA=7，AB=5，
由①得：，即，即PB=，OP=OB-PB=，
由②得：，即，即P′B=，OP′=OB-BP′=-，
∴P（，0）或（-，0）．