Question

如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）求tanα的值；
（2）求点A₁的坐标，并直接写出点B₁、点C₁的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的知识可知：四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1=B1C1，∠OC1B1=90°，∠C1OD=∠AOA1=α，又∵D是B1C1的中点，∴，∴在Rt△C1OD中，tanα=．∴tanα的值是；
（2）根据三角函数与勾股定理即可求得点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；要注意方程思想的应用；
（3）将点A1，B1，C1的坐标代入解析式，利用方程组即可求得解析式，再求得对称轴；
（4）一种是与线段B1C1垂直的直线：分别过点B1、C1；一种是根据直径所对的圆周角是直角求得，以线段B1C1为直径作圆，与对称轴的交点即是所求点．
【解析】
（1）∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴OC1=B1C1，∠OC1B1=90度．
又∵D是B1C1的中点，
∴．
∵由旋转性质可知，∠C1OD=∠AOA1=α，
∴在Rt△C1OD中，tanα=．
∴tanα的值是．（2分）

（2）过点A1作A1E⊥x轴，垂足为点E．
在Rt△A1EO中，tanα=，
∴．
设A1E=k，则OE=2k，在Rt△A1EO中，，
根据勾股定理，得A1E2+OE2=OA12．
即，
解得k1=-1（舍），k2=1．
∴A1E=1，OE=2．
又∵点A1在第二象限，
∴点A1的坐标为（-2，1）．（4分）
直接写出点B1的坐标为（-1，3），点C1的坐标为（1，2）．（6分）

（3）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A1，B1，C1．
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为．（8分）
将其配方，得．
∴抛物线的对称轴是直线．（9分）

（4）存在点P，使△PB1C1为直角三角形．（10分）
满足条件的点P共有4个：，，，．（14分）