Question

如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．
①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切；
②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：______．

Answer

（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．
（2）连接BC，交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．
∴AD+CD=BD+CD，由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点，
设出直线BC的解析式为y=kx+b，可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．
（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．
【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）
将（0，3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．
解，得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．
即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC，交直线l于点D．
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AD=BD．（4分）
∴AD+CD=BD+CD=BC．
由“两点之间，线段最短”的原理可知：
此时AD+CD最小，点D的位置即为所求．（5分）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由直线BC过点（3，0），（0，3），
得
解这个方程组，得
∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）
由（1）知：对称轴l为，即x=1．
将x=1代入y=-x+3，得y=-1+3=2．
∴点D的坐标为（1，2）．（7分）
说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可，答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．
由（2）知：当AD+CD最小时，点D的坐标为（1，2）．
∴DE=AE=BE=2．
∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）
∴∠ADB=90度．
∴AD⊥BD．
∴BD与⊙A相切．（9分）
②∵另一点D与D（1，2）关于x轴对称，
∴D（1，-2）．（11分）