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如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的...

如图,二次函数的图象经过点D(0,manfen5.com 满分网),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

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(1)已知了顶点的横坐标,可用顶点式来设二次函数的解析式如:y=a(x-4)2+k,根据二次函数过点(0,),可得出=16a+k;由于A、B关于x=4对称,且AB=6,不难得出A、B的坐标为(1,0),(7,0),可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值. (2)本题的关键是确定P的位置,由于对称轴垂直平分AB,因此P不论在对称轴的什么位置都有PA=PB,连接DB,如果P是交点时,PA+PD的长就是BD的长,两点之间线段最短,因此要想PA+PD最小,P必为DB与对称轴的交点.可根据B、D的坐标求出BD所在直线的解析式,然后求出与抛物线对称轴的交点.即可得出P点的坐标. (3)由于三角形ABC是等腰三角形,要想使QAB与三角形ABC相似,三角形QAB必须为等腰三角形.要分两种情况进行讨论: ①当Q在x轴下方时,Q,C重合,Q点的坐标就是C点的坐标. ②当Q在x轴上方时,应该有两个符合条件的点,抛物线的对称轴左右两侧各一个,且这两点关于抛物线的对称轴相对称.因此只需求出一点的坐标即可.以AQ=AB为例:可过Q作x轴的垂线,在构建的直角三角形中,根据BQ即AB的长以及∠QBx的度数来求出Q的坐标.然后根据对称性求出另外一点Q的坐标. 【解析】 (1)设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,) ∴y=a(x-4)2+k,=16a+k① 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0) ∴0=9a+k② 由①②解得a=,k=- ∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2- (2)∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD, ∴∠BPM=∠BDO, 又∵∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为(4,) (3)由(1)知点C(4,), 又∵AM=3, ∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=, ∴∠ACM=60°, ∵AC=BC, ∴∠ACB=120° ①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120°,则∠QBN=60° ∴QN=3,BN=3,ON=10, 此时点Q(10,), 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,) ②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB, 此时点Q的坐标是(4,), 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).
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考点分析:
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(2)求抛物线的解析式;
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(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
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已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程y1-y2=0的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(Ⅰ)若α=manfen5.com 满分网,β=manfen5.com 满分网,求函数y2的解析式;
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(1)求这个二次函数的表达式.
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(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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