Question

定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁，F₂于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，若F₁：y=x²，经过变换后，得到F₂：y=x²+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于______；
②四边形ABCD为（ ）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F₁：y=ax²+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F₁：y=x²-x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

Answer

（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基础上求出S△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
【解析】
（1）-2；D；

（2）∵F2：y=a（x-2）2+c-1，
而A（0，c）在F2上，可得a=．
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S△ABD=2；

（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=x2-x+，配方得y=（x-1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2，
∴点C的坐标为（1+2，2）．
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=（x-1-）2+1，
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=AD=
∴最小值为．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．