Question

如图，已知抛物线y=ax²-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

Answer

（1）已知抛物线解析式和点B的坐标求出a值，利用对称轴x=-求出对称轴以及点A的坐标．
（2）①本题要靠辅助线的帮助．连接AC，AD，过DM⊥y轴于点M．证明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
②证明四边形BAFE为平行四边形，求出BA，EF得出点F的坐标．
【解析】
（1）对称轴是直线：x=1，
点A的坐标是（3，0）；

（2）①如图，连接AC、AD，过D作DM⊥y轴于点M，
解法一：利用△AOC∽△CMD，
在y=ax2-2ax-b（a＞0）中，当x=1时，y=-a-b，则D的坐标是（1，-a-b）．
∵点A、D、C的坐标分别是A（3，0），D（1，-a-b）、
C（0，-b），
∴AO=3，MD=1．
由，
得，
∴3-ab=0．（3分）
又∵0=a•（-1）2-2a•（-1）-b，（4分）
∴由，
得，（5分）
∴函数解析式为：y=x2-2x-3．（6分）
解法二：利用以AD为直径的圆经过点C，
∵点A、D的坐标分别是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b），
∴AC=，CD=，AD=
∵AC2+CD2=AD2
∴3-ab=0①（3分）
又∵0=a•（-1）2-2a•（-1）-b②（4分）
由①、②得a=1，b=3（5分）
∴函数解析式为：y=x2-2x-3．（6分）

②F点存在．

如图所示，当BAFE为平行四边形时
则BA∥EF，并且BA=EF．
∵BA=4，
∴EF=4
由于对称轴为x=1，
∴点F的横坐标为5．（7分）
将x=5代入y=x2-2x-3得y=12，∴F（5，12）．（8分）
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，
使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（-3，12）．（9分）
当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，
此时点F的坐标为（1，-4）．（10分）
综上所述，点F的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）．