Question

已知：t₁，t₂是方程t²+2t-24=0的两个实数根，且t₁＜t₂，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（t₁，0），B（0，t₂）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当平行四边形OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使▱OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）解方程t2+2t+24=0，可得A（-6，0），B（0，4），再利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设点P（x，y），利用x，y表示四边形的边长求得面积S=-4（x+）2+25，利用面积是正数的性质求出x的取值范围是-6＜x＜-1；
（3）把S=24代入解析式S=-4（x+）2+25中求得y的值，从而得到点P的坐标，根据实际意义进行值的取舍，讨论可知不存在这样的点P，使四边形OPAQ为正方形．
【解析】

（1）t2+2t-24=0，（t+6）（t-4）=0，t1=-6，t2=4（1分）
∵t1＜t2，
∴A（-6，0），B（0，4）（2分）
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．
∴，
解得，
∴y=x2+x+4．（4分）

（2）∵点P（x，y）在抛物线上，位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0．
又∵S=2S△APO=2××|OA|•|y|=|OA|•|y|=6|y|，
∴S=-6y（6分）
=-6（x2+x+4）
=-4（x2+7x+6）
=-4（x+）2+25（7分）
令y=0时，x2+x+4=0，
解得x1=-6，x2=-1．
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-6，0），（-1，0），
∴x的取值范围为-6＜x＜-1．（8分）

（3）当S=24时，得24=-4（x+）2+25，
解得：x1=-3，x2=-4（9分）
代入解析式得：y1=-4，y2=-4．
∴点P的坐标为（-3，-4），（-4，-4）
当点P为（-3，-4）时，满足PO=PA，此时，平行四边形OPAQ是菱形．
当点P为（-4，-4）时，不满足PO=PA，此时，平行四边形OPAQ不是菱形．（10分）
而要使平行四边形OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO=PQ，
此时，点P的坐标为（-3，-3），而（-3，-3）不在抛物线y=x2+x+4上，
故不存在这样的点P，使四边形OPAQ为正方形．（12分）