Question

如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；
（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；
（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+，（1分）
∵B（，）在抛物线上，
∴把B（，）代入y=ax2+
得a=．（3分）
∴抛物线解析式为y=x2+．（5分）

（2）∵点B（，），A（0，），
∴CB=，
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA==2
∴AB==1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四边形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=，OC=1，
∴B'点的坐标为（1，）．（9分）
∵当x=1时，代入y=x2+得y=，
∴B'（1，）在抛物线上．（10分）

（3）存在．（11分）
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴
∴
∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m，m+），F（m，m2+）
PF=（m+）-（m2+），AD=-=
如果PF=AD，则有
=（m+）-（m2+）=
解得m1=0（不符合题意舍去），m2=．
∴当m=时，PF=AD，
存在四边形ADFP是平行四边形．（13分）
当m=时，m+=，
∴P点的坐标是（，）．（14分）