Question

一条抛物线经过原点O与A（4，0）点，顶点B在直线y=kx+2k（k≠0）上．将这条抛物线先向上平移m（m＞0）个单位，再向右平移m个单位，得到的抛物线的顶点B′仍然在直线y=kx+2k上，点A移动到了点A′．
（1）求k值及原抛物线的表达式；
（2）求使△A′OB′的面积是6032的m值．

Answer

（1）根据已知条件选择交点式设出二次函数的解析式．再进一步把它变形为顶点式，则它的顶点坐标满足直线解析式得到关于k、a的方程．根据将这条抛物线先向上平移m个单位，再向右平移m个单位，在顶点式的基础上，左加右减，上加下减的方法得到新的抛物线解析式，再进一步把它的顶点坐标代入直线解析式得到关于k、m的方程．即可求得k、a的值，进一步求得抛物线的解析式；
（2）根据点B'的坐标和点A'的坐标，运用割补法表示出三角形的面积，列方程求解．
【解析】
（1）已知原抛物线经过原点O（0，0）与A（4，0）点，
因此可设原抛物线的表达式为y=ax（x-4）．（1分）
配方得y=a（x-2）2-4a，则其顶点B的坐标为（2，-4a）．（2分）
因为顶点B在直线y=kx+2k（k≠0）上，将（2，-4a）代入可得k=-a．（3分）
由题意可知平移后得到的抛物线的顶点B'的坐标为（2+m，-4a+m），即（2+m，4k+m）．
因为B'点仍然在直线y=kx+2k上，则4k+m=k（2+m）+2k，
整理得m=km，因为m＞0，
所以k=1，（4分）
则a=-1，所以原抛物线的表达式为y=-x（x-4）．（或y=-x2+4x）（5分）

（2）方法一：由（1）知，点B'的坐标为（2+m，4+m），
由题意，点A'的坐标为（4+m，m），（6分）
作B'C垂直于y轴于C，作A'D垂直于y轴于D，（7分）
因为m＞0，所以△A'OB'的面积
=△B'OC的面积+梯形B'CDA'的面积-△A'OD的面积
=（2+m）（4+m）+（4+m+m）（4+m-2-m）-m（4+m）
=3m+8，（8分）
由3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）
方法二：由（1）知，点B'的坐标为（2+m，4+m），
由题意，点A'的坐标为（4+m，m），（6分）
设直线A'B'的表达式为y=k'x+b，则
解得（7分）
则直线A'B'的表达式为y=-2x+3m+8．
设直线A'B'与x轴的交点为C，则点C的坐标为．（8分）
因为m＞0，
所以＞0，yA'=m＞0，yB'=4+m＞0，
所以S△A'OB'=OC•yB'-OC•yA'=OC（yB'-yA'）=••（4+m-m）=3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）