Question

如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．

Answer

（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE2+OA2=（AD-DE）2求出OE．
（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE≌△CDE．根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标．列出解析式求出a，b的值．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k，b．证明△AMH∽△AOC推出m的值．
【解析】
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE2+OA2=（AD-DE）2，
即OE2+42=（8-OE）2，
解之，得OE=3．

（2）EC=8-3=5．如图，过D作DG⊥EC于G，
∴△DGE∽△CDE．
∴，．
∴DG=，EG=．
∴D（．
因O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴
解之，得

（3）∵抛物线的对称轴为x=4，
∴其顶点坐标为．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则解之，得
∴．
设直线FP交直线AC于H（m，m-4），过H作HM⊥OA于M．
∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S△FAH：S△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H1（2，-3），H2（6，-1）．
直线FH1的解析式为y=x-．
当y=-4时，x=．
直线FH2的解析式为．
当y=-4时，x=．
∴当t=秒或秒时，
直线FP把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．