Question

已知一元二次方程x²-4x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁＜x₂．若x₁、x₂分别是抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标（如下图所示）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与y轴的交点为C，抛物线的顶点为D，请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；
（3）是否存在直线y=kx（k＞0）与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
[注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）]．

Answer

（1）由方程x2-4x-5=0得方程的两根，即可得AB的坐标，将其代入函数的解析式可得bc的值，进而可得其解析式；
（2）由（1）求出的解析式，可得CD的坐标，再根据图形间的关系，可得四边形ABDC的面积；
（3）假设存在并设出其解析式，易得BD的方程，根据题意中的面积关系，可得关系式，解之有符合条件的解，故存在符合条件的直线．
【解析】
（1）由方程x2-4x-5=0得方程的两根x1=-1，x2=5．
所以A、B的坐标分别为A（-1，0）、B（5，0）．（1分）
把A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c
得
解得（2分）
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5．（3分）

（2）C（0，5）、D（2，9）．（5分）
如图所示，过D作DE⊥x轴于点E，则
S四边形ACDB=S△AOC+S四边形OCDE+S△EDB
=（6分）
=
=16+14
=30．（7分）

（3）存在满足条件的直线．（8分）
设过B、D两点的直线解析式为y=k1x+d，
把B（5，0）、D（2，9）代入y=k1x+d
得（9分）
解得
∴直线BD的解析式为y=-3x+15．（10分）
设y=kx与y=-3x+15的交点为F（m，n），作直线OF，
则S△OBF=S四边形ABDC，即OB×n=15，
∴×5n=15，
∴n=6．
又∵点F（m，6）在y=-3x+15上，
∴6=-3m+15．
∴m=3．
∴点F（3，6）．（11分）
把点F（3，6）代入y=kx，
得6=3k，即k=2．（12分）