Question

如图，二次函数y=ax²的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（-2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长；
（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S_△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式中即可求出两函数的解析式．然后联立两函数的函数式即可求出B点的坐标．
（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR=2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．
（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．
【解析】
（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax2的图象上，又在y=x+b的图象上
所以得2=a（-2）2和2=-2+b，
∴，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=x2．
由，
解得或，
所以B点的坐标为（4，8）．

（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，
得，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由得，
所以点R的坐标（t，t2）．
所以SR=t+4-t2，RP=t2．
由SR=2RP得t+4-t2=2×t2，
解得或t=2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以或t=2
当t=2时，SR=2+4-×22=4
所以线段SR的长为或4．

（3）存在符合题意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S△BRQ=（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．