Question

如图：已知抛物线y=x²+x-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）已知矩形DEFG的一条边DE在AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接对角线DF并延长至点M，使FM=DF．试探究此时点M是否在抛物线上，请说明理由．

Answer

（1）让二次函数解析式的y=0，求得A，B的横坐标，让x=0，求得C的纵坐标．
（2）根据DG∥AC，可得△ADG∽△AOC，利用相似比可求得用m表示的DG长；同理可得△CFG∽△CBA，利用相似比可求得用m表示的FG长．那么矩形的面积=DG×FG
（3）利用（2）所给的二次函数解析式求得相应的m的取值时的最值．作MN⊥AB，垂足为N，则有MN∥FE，利用相似可求得有关点M的横纵坐标的相关线段长．把横坐标代入二次函数解析式，看是否等于纵坐标即可．
【解析】
（1）A（2，0），B（-8，0），C（0，-4）．（3分）

（2）由△ADG∽△AOC，可得，
∴DG=2（2-m），（4分）
同理可得△CFG∽△CBA，
∴DE=5m，（5分）
∴S=DG×DE=2（2-m）•5m=20m-10m2
∴S与m的函数关系式为S=-10m2+20m，且0＜m＜2．（6分）

（3）由S=-10m2+20m可知m=1时，S有最大值10，此时D（1，0），DE=5，EF=2．（7分）
过点M作MN⊥AB，垂足为N，则有MN∥FE，
∴，
又有，
得DN=7，
∴N（-6，0），，（8分）
在二次函数y=x2+x-4中，当x=-6时，，
∴点M不在抛物线上．（9分）