Question

如图抛物线y=，x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC：
①求E点坐标；
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；
（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）分别令x=0以及y=0求出A、B、C三点的坐标．
（2）依题意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐标易求出点E的坐标，又因为四边形AEBC是平行四边形且∠ACB=90°可得四边形AEBC是矩形．
（3）作点A关于BC的对称点A′，连接′'D与直线BC交于点P．则可得点P是使△PAD周长最小的点，然后求出直线A′D，直线BC的函数解析式联立方程求出点P的坐标．
【解析】
（1）y=-，
令x=0，得y=
令y=0，
即，
即x2+2x-3=0，
∴x1=1，x2=-3
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-3，0），B（1，0），C（0，）（3分）

（2）①过点E作EF⊥AB于F，
∵C（0，），
∴EF=，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-）（5分）
②四边形AEBC是矩形．
理由：四边形AEBC是平行四边形，且∠ACB=90°（7分）

（3）存在．（8分）
D（-1，）
作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．
则点P是使△PAD周长最小的点．（10分）
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=，
∴A′F=2，
∴求得A′（3，2）
过A′、D的直线y=
过B、C的直线y=-
两直线的交点P（-，）．（12分）