Question

在平面直角坐标系中有一点A（），过A点作x轴的平行线l，在l上有一不与A点重合的点B，连接OA，OB．将OA绕O点顺时针方向旋转α°到OA₁，OB绕O点逆时针方向旋转α°到OB₁．
（1）当B点在A点右侧时，如图（1）．如果∠AOB=20°，∠A₁OB=110°，α=______．这时直线AB₁与直线A₁B有何特殊的位置关系证明你的结论．
（2）如果B点的横坐标为t，△OAB的面积为S，直接写出S关于t的函数关式，并指出t的取值范围．
（3）当α=60时，直线B₁A交y轴于D，求以D为顶点且经过A点的抛物线的解析式．

Answer

（1）易知∠α=90°；
直线AB1与直线A1B可通过证△A1OB和AOB1全等得出∠AB1O=∠A1BO，因此两角加上一个相等的对顶角后也应该相等，由于∠B1OB=α=90°，因此A1B⊥AB1．
（2）已知了A的坐标和B的横坐标即可得出AB的长和AB边上的高，根据三角形的面积计算公式即可得出S，t的函数关系式．（要注意的本题中，要保证线段的长均为正数）
（3）本题要分两种情况进行求解，以B在A点右侧为例进行说明．
设直线l与y轴的交点为M，根据A的坐标不难得出∠AOM=30°，∠OAM=60°，因此当α=60°时，A1恰好在直线l上，且A1，A关于y轴对称，由此可得出A1的坐标．求抛物线的解析式关键还需知道D点的坐标，根据（1）的全等三角形可得出∠OAB1=∠OA1B=60°，因此∠AOD=∠ADO=30°，D，O关于直线l对称由此可得出D点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【解析】
（1）90．垂直，理由：
设AB1与OB交于C．
在△A1OB和△AOB1中，
∴△A1OB≌△AOB1
∴∠A1BO=∠AB1O．又∠AB1O+∠OCB1=90°，∠OCB1=∠ACB
∴∠ACB+∠A1BO=90°
∴B1A⊥A1B．

（2）当t＞时，S=（t-）
当t＜时，S=（t-）
（或x≠时）S=|t-|．

（3）当B在A点右侧时．如图（2）（画图）
∵A（），若l与y轴交于M．则OM=，MA=，
∴∠AOM=30°α=60时，A1点在l上．
∴△OA1A是等边三角形．
∴∠AA1O=60度．
与（1）同理得△A1OB≌△AOB1．
∴∠OAB1=∠OA1B=60°
∴B1A∥OA1
∴D（O，-）．
当B在A点左侧时，同理可得B1A∥OA1，D（O，-）．（可以证左侧，同理得右侧）
因此，所求解析式为y=2x2-．