Question

已知抛物线y=ax²+6x-8与直线y=-3x相交于点A（1，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax²的图象？
（3）设抛物线y=ax²上依次有点P₁，P₂，P₃，P₄，…，其中横坐标依次是2，4，6，8，…，纵坐标依次为n₁，n₂，n₃，n₄，…，试求n₃-n₁₀₀₃的值．

Answer

（1）可根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将其代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，然后进行进行平移即可．
（3）本题中Pn的横坐标应该是2n，纵坐标应该是nn=4an2，由此可求出n3和n1003的值．进而可求出它们的差．
【解析】
（1）∵点A（1，m）在直线y=-3x上，
∴m=-3×1=-3，
把x=1，y=-3代入y=ax2+6x-8，
得a+6-8=-3，
求得a=-1，
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．

（2）∵y=-x2+6x-8=-（x-3）2+1，
∴顶点坐标为（3，1），
∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度得到y=-x2+1的图象，
再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象．

（3）由题意知，P1，P2，P3，的横坐标是连续偶数，
所以Pn的横坐标是2n，
纵坐标为n3-n1003所对应的纵坐标依次是-62，-20062．
∴n3-n1003=-62-（-20062）
=（2006+6）（2006-6）=4024000．