Question

抛物线y=-x²+2bx-（2b-1）（b为常数）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＞x₁＞0）两点，设OA•OB=3（O为坐标系原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，抛物线的对称轴交x轴于点D，求证：点D是△ABC的外心；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）∵OA•OB=3，即x1•x2=3，由根与系数关系可求b，确定抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称性可得DA=DB，只要证明AD=CD即可，求出抛物线的顶点C坐标和两交点A、B坐标即可解答本题；
（3）由于AB=2，∴△ABC的AB边上高是1，可知P点纵坐标为1或者-1，分别代入抛物线解析式，可求P点横坐标．
（1）【解析】
由题意，得x1•x2=2b-1．（1分）
∵OA•OB=3，OA=x1OB=x2，
∴x1•x2=3．（2分）
∴2b-1=3．
∴b=2．（3分）
∴所求的抛物线解析式是：y=-x2+4x-3．（4分）

（2）证明：如图，
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点C（2，1），D（2，0），CD=1．（5分）
令y=0，得-x2+4x-3=0．
解得x1=1，x2=3．（6分）
∴A（1，0），B（3，0），AD=DB=1．（7分）
∴AD=DC=DB．
∴D为△ABC的外心．（8分）

（3）解法一：设抛物线存在点P（x，y），使S△ABP=1．
由（2）可求得AB=3-1=2．
∴S△ABP=AB•|y|=×2•|y|=1．（9分）
∴y=±1．
当y=1时，-x2+4x-3=1，解得x1=x2=2．（10分）
当y=-1时，-x2+4x-3=-1，解得x=2±．（11分）
∴存在点P，使S△ABP=1．
点P的坐标是（2，1）或（2+，-1）或
（2-，-1）．（12分）
解法二：由（2）得S△ABC=AB•CD=×2×1=1．（9分）
∴顶点C（2，1）是符合题意的一个点．（10分）
另一方面，直线y=-1上任一点M，能使S△AMB=1，
把直线y=-1代入抛物线解析式，得-x2+4x-3=-1．
解得x=2±．（11分）
∴存在点P，使S△ABP=1．
点P的坐标是（2，1）或（2+，-1）或（2-，-1）．（12分）