Question

已知二次函数的图象经过（0，0），（1，-1），（-2，14）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点（x₁≠x₂）．
①求t的取值范围；
②设m=y₁²+y₂²，求m与t之间的函数关系式及m的取值范围．

Answer

（1）由于图象过（0，0），（1，-1），（-2，14）三点，可以设出一般式，用待定系数法解答；
（2）因为二次函数与直线有两个交点，根据函数图象的交点个数与它们组成的方程组的解的个数的关系，可以利用根的判别式解答．
【解析】
（1）将（0，0），（1，-1），（-2，14）代入三点，
得，
解得a=2，b=-3，c=0，
二次函数解析式为y=2x2-3x．

（2）①当t=1时，直线y=x+t（t≤1）可化为y=x+1，
代入二次函数解析式y=2x2-3x得，2x2-4x-1=0，
△=（-4）2-4×2×（-1）=24＞0，
故直线与抛物线有两个不同的交点．
②当直线与抛物线相切时t取得最小值，
把y=x+t代入抛物线y=2x2-3x得，2x2-4x-t=0．
△=（-4）2-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范围是-2＜t≤1．