Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．
（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米²；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米²），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）由于PC=3-t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S△PCQ，从而求出t的值；
（2）根据运动状态，分三种可能情况：①当0＜t≤2时，②当2＜t≤3时，③当3＜t≤4.5时，分别表示阴影部分面积，在②中，S=S△ABC-S△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作PH⊥AB于H，利用相似比表示PH，再表示面积；
（3）用（2）的结论，分别求出每一种情况下的最大值（注意自变量取值范围），再比较，求出整个过程中的最大值．
【解析】
（1）
S△PCQ=PC•CQ=（3-t）•2t=（3-t）t=2，
解得t1=1，t2=2．
∴当时间t为1秒或2秒时，S△PCQ=2厘米2；

（2）①当0＜t≤2时，S△PCQ=PC•CQ=（3-t）•2t=（3-t）t，S=-t2+3t；
②当2＜t≤3时，AQ=9-2t，
作PH⊥AB于H，则△AHP∽△ACB，
∴PH：BC=AP：AB
∴PH=t，
∴S=S△ABC-S△APQ，即S=t2-t+6；
③在3＜t≤4.5时，CP=t-AC=t-3，则BP=BC-PC=4-（t-3）=7-t，
∵△ABC∽△PBH，
∴=，即=，
故PH=，
又∵BQ=2t-BC=2t-4，
∴S=BQ•PH=（2t-4）•=-t2+t-；

（3）有最大值．
①在0＜t≤2时，S=-t2+3t=-（t-）2+，当t=，S有最大值，S1=；
②在2＜t≤3时，S=t2-t+6=（t-）2+，当t=，S有最大值，S2=；
③在3＜t≤4.5时，S=-t2+t-=-（t-）2+，当t=，S有最大值，S3=；
∵S2＜S1＜S3
∴t=时，S有最大值，S最大值=．