Question

如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

Answer

（1）由函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m=4，由已知条件可得B点的坐标为（a，），又由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，得a=3，所以点B的坐标为（3，）；
（2）依题意可证，=a-1，=a-1，，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是
（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式
y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5．
（1）【解析】
∵函数y=（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m=4．
∴y=，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，），D点的坐标为（0，），E点的坐标为（1，），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-．
由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，
得a=3，
∴点B的坐标为（3，）；

（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=，BE=a-1，
∴=a-1，=a-1．
∴且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）【解析】
∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，
，
∴a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得，
解得．
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得，
解得，
故直线AB的函数解析式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．