Question

已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点．
（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，-m²）都不在这个二次函数的图象上．

Answer

（1）可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，把点（0，）代入即可解得a值，所以y=-（x+1）2+2，作图即可；
（2）把点M（m，-m2）代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
【解析】
（1）依题意可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，
又点（0，）在它的图象上，
所以=a+2，解得，，
所求为y=-（x+1）2+2，或y=-x2-x+．
令y=0，得x1=1，x2=-3，
画出其图象；

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则-m2=-（m+1）2+2，
得m2-2m+3=0，
方程的判别式：4-12=-8＜0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M（m，-m2）都不在这个二次函数的图象上．