Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁与四边形OABD的面积S满足：S₁=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出正比例函数和反比例函数的解析式，用待定系数发解答；
（2）因为B点为三个函数的交点，将B（6，m）代入已知函数y=，即可求得m的值；根据一次函数和正比例函数平行，可知二者比例系数相同，再用待定系数法求出b的值；
（3）A、B坐标已求出，D点坐标可根据一次函数解析式求得；
（4）画出图形，根据已知各点坐标，求出相应线段长．由于四边形不规则，故将其面积转化为矩形面积与三角形面积的差或几个三角形面积的和．
【解析】
（1）设正比例函数的解析式为y=k1x（k1≠0），
因为y=k1x的图象过点A（3，3），
所以3=3k1，解得k1=1．
这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=（k2≠0），
因为y=的图象过点A（3，3），
所以3=，
解得k2=9．
这个反比例函数的解析式为y=．（2分）

（2）因为点B（6，m）在y=的图象上，
所以m==，
则点B（6，）．（3分）
设一次函数解析式为y=k3x+b（k3≠0），
因为y=k3x+b的图象是由y=x平移得到的，
所以k3=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，），
所以=6+b，
解得b=-，
∴一次函数的解析式为y=x-．

（3）因为y=x-的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，-）．
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
因为y=ax2+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，）、和D（0，-），
所以，
解得，
这个二次函数的解析式为y=-x2+4x-．（6分）

（4）∵交x轴于点C，
∴点C的坐标是（，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S=×6-×6×6-××3-×3×3=45-18--=．
假设存在点E（x，y），使S1=S=．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y＞0，
∴S1=S△OCD+S△OCE==．
∴，
∴．（7分）
∵E（x，y）在二次函数的图象上，
∴．
解得x=2或x=6．
当x=6时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x=6舍去，
∴点E的坐标为（2，）．（8分）