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如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、...

如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

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(1)由于四边形ABCD为矩形,所以A点与D点纵坐标相同,A点与B点横坐标相同; (2)①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式.代入二次函数解析式,求出纵标表达式,将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答. ②若构成等腰三角形,则三条边中有两条边相等即可,于是可分EQ=QC,EC=CQ,EQ=EC三种情况讨论.若有两种情况时间相同,则三边长度相同,为等腰三角形. 【解析】 (1)因为点B的横坐标为4,点D的纵坐标为8,AD∥x轴,AB∥y轴,所以点A的坐标为(4,8). 将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx得, 解得a=-,b=4. 故抛物线的解析式为:y=-x2+4x; (2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=. ∴PE=AP=t.PB=8-t. ∴点E的坐标为(4+t,8-t). ∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. ∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t. ∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. ②共有三个时刻. (①)当EQ=QC时, 因为Q(8,t),E(4+t,8-t),QC=t, 所以根据两点间距离公式,得: (t-4)2+(8-2t)2=t2. 整理得13t2-144t+320=0, 解得t=或t==8(此时E、C重合,不能构成三角形,舍去). (②)当EC=CQ时, 因为E(4+t,8-t),C(8,0),QC=t, 所以根据两点间距离公式,得: (4+t-8)2+(8-t)2=t2. 整理得t2-80t+320=0,t=40-16,t=40+16>8(此时Q不在矩形的边上,舍去). (③)当EQ=EC时, 因为Q(8,t),E(4+t,8-t),C(8,0), 所以根据两点间距离公式,得:(t-4)2+(8-2t)2=(4+t-8)2+(8-t)2, 解得t=0(此时Q、C重合,不能构成三角形,舍去)或t=. 于是t1=,t2=,t3=40-16.
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考点分析:
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已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2)
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标;
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

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如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.

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如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

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(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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