Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S_△OAB=6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer

（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可
【解析】
（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）
∵S△OAB=×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）；（2分）

（2）把点B的坐标（-3，0）代入y=-x2+（k-1）x+4，
得-（-3）2+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-．（4分）
∴所求二次函数的解析式为y=-x2-x+4．（5分）

（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）（8分）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得=|x+3|．
解得x=．
∴点P的坐标为（，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（，0）．