Question

如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30度．折叠后，点O落在点O₁，点C落在线段AB点C₁处，并且DO₁与DC₁在同一直线上．
（1）求折痕AD所在直线的解析式；
（2）求经过三点O，C₁，C的抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．

Answer

（1）根据B点的坐标即可得出A点的坐标，也就知道了OA的长，可在直角三角形OAD中，根据OA的长和∠OAD的度数求出OD的长，即可得出D点的坐标，进而可用待定系数法求出直线AD的解析式．
（2）本题的关键是求出C1的横坐标，可过C1作x轴的垂线，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C1DC=60°，因此可在构建的直角三角形中用BC的长和∠C1DC的度数来求出C1的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）由于圆P与两坐标轴都相切，如果设P点的坐标为（x、y），则有|x|=|y|，进而可联立抛物线的解析式求出P点的坐标．也就得出了圆的半径的长．
【解析】
（1）由已知得
OA=，∠OAD=30度．
∴OD=OA•tan30°==1，
∴A（0，），D（1，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A，D坐标代入上式得：
，
解得：，
折痕AD所在的直线的解析式是y=-x+．

（2）过C1作C1F⊥OC于点F，
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°，
∴∠C1DC=60°．
又∵DC=3-1=2，
∴DC1=DC=2．
∴在Rt△C1DF中，C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=．
则DF=DC1=1，
∴C1（2，），而已知C（3，0）．
设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，（a≠0）．
把O，C1，C的坐标代入上式得：，
解得，
∴y=-x2+x为所求．

（3）设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得-x2+x=x，解得x1=0（舍去），．
由y=-x，得-x2+x=-x解得x1=0（舍去），．
∴所求⊙P的半径R=3-或R=3+．