Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+与双曲线y=（m＞0）的交点．
（1）求m和k的值；
（2）设双曲线y=（m＞0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=AB，写出你的探究过程和结论．

Answer

（1）由题意易知点A横坐标为1，代入Y=，可用含m的代数式表示它的纵坐标；同理可表示点B坐标，再代入方程组即可求m和k的值；
（2）用反证法证明．假设存在，运用一元二次方程判别式即可解出．
【解析】
（1）∵A，B在双曲线y=（m＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，
∴A，B的坐标分别（1，m），（2m，）．（1分）
又点A，B在直线y=kx+上，
∴（2分）
解得或（4分）
当k=-4且m=时，点A，B的坐标都是（1，，不合题意，应舍去；
当k=-且m=4时，点A，B的坐标分别为（1，4），（8，，符合题意．
∴k=-
且m=4．（5分）

（2）假设存在点P使得MN=AB．
∵AC∥y轴，MP∥y轴，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽Rt△MPN，
∴，（7分）
设点P坐标为P（x，）（1＜x＜8），
∴M点坐标为M（x，-x+），
∴MP=-．
又∵AC=4-，
∴，即2x2-11x+16=0（※）（9分）
∵△=（-11）2-4×2×16=-7＜0．
∴方程（※）无实数根．
∴不存在点P使得MN=AB．（10分）