Question

己知Rt△ABC的两个锐角A、B的正切值恰好是关于x的一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的两个根，求m的值．

Answer

因为Rt△ABC的∠A、∠B两个角为锐角，所以其正切值都大于零．根据正切值的定义和已知条件可知，锐角A、B的正切值之积为1，又因为锐角A、B的正切值之积正好等于一元二次方程mx2+（2m-9）x+（m2-2）=O的两根之积，由此得到关于m的方程，从而可以求出m的值．
【解析】
∵∠A、∠B为Rt△ABC的两个锐角，
∴tanA＞0，tanB＞0，且tanA•tanB=1．
又∵tanA、tanB是方程mx2+（2m-9）x+（m2-2）=0的两个根，
根据根与系数的关系可得：tanA•tanB=，
∴．
解得m1=-1，m2=2．
当m=-1时，tanA+tanB=-11＜0，
这与tanA＞0，tanB＞0相矛盾，所以m=-1不合题意，舍去；
当m=2时，tanA+tanB=＞0．
又△＞0，
∴m=2．