Question

已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．

Answer

（1）S△EFC=FC•高h，S△ABF=BF•高h′，而△EFC与△ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h′，而h=ABsinα，
h′=EBsinα，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证△EBF≌△DCF来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC和△CDE为等底等高三角形，所以S△ABC=S△CDE，又因为△ACF和△CDF同底等高，所以S△AFC=S△CDF．
∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF，即S△ABF=S△EFC．
（1）证明：∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=BC=，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E两点到BC的距离相等，都为bsinα，（3分）
则S△ABF=••bsinα=absinα，
S△EFC=••bsinα=absinα，
∴S△ABF=S△EFC；（5分）

（2）【解析】

法一：当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=a-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∴，
∴，（7分）
在△EFC中，FC边上的高h1=BEsinα，
∴，
∴，（9分）
又在△ABF中，BF边上的高h2=bsinα，
∴S△ABF=bxsinα，
∴S△ABF=S△EFC；（11分）
法二：∵ABCD为平行四边形，
∴S△ABC=S△CDE=absinα，
又∵S△AFC=S△CDF，
∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF，
即S△ABF=S△EFC．（11分）