Question

如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．

Answer

（1）使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；可让弦AB=CD且AB与CD不平行（相交时交点不为圆心）．使图②仍为中心对称图形；可让AB=CD且AB∥CD，也可让AB，CD作为两条圆内不重合的直径．
（2）可以以CD或AB为底来求两三角形的面积和，先作高，然后用AE，BE（CE，DE也可以）和sinα表示出这两个三角形的高，然后根据三角形的面积公式可得出CD×（AE+BE）•sinα，AE+BE正好是AB的长，因此两三角形的面积和就能求出来了．
（3）要分两种情况进行讨论：
当两弦相交时，情况与（2）相同，可用（2）的结果来得出四边形的面积（此时四边形的面积正好是两个三角形的面积和）．
当两弦不相交时，我们可连接圆心和四边形的四个顶点，将四边形分成4个三角形来求解，由于AB=CD=R，那么我们可得出三角形OAB和OCD应该是个等腰直角三角形，那么他们的面积和就应该是R2，下面再求出三角形AOD和BOC的面积和，我们由于∠AOD+∠BOC=180°，我们可根据这个特殊条件来构建全等三角形求解．延长BO交圆于E，那么三角形AOD就应该和三角形CEO全等，那么求出三角形BCE的面积就求出了三角形AOD和BOC的面积和，那么要想使四边形的面积最大，三角形BEC中高就必须最大，也就是半径的长，此时三角形BEC的面积就是R2，三角形BEC是个等腰直角三角形，那么四边形ABCD就是个正方形，因此四边形ABCD的最大面积就是2R2．因此当∠AOD=∠BOC=90°时，四边形ABCD的面积就最大，最大为2R2．
【解析】
（1）答案不唯一，如图①、②

（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD=CD•AM=CD•AE•sinα，S△BCD=CD•BN=CD•BE•sinα，
∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=CD•AE•sinα+CD•BE•sinα
=CD•（AE+BE）sinα=CD•AB•sinα=m2•sinα．

（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=知S四边形ACBD=AB•CD•sinα=R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．

∵AB=CD=，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE=BE•CH=R•CH．
∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值．